介绍欧拉图
本页面将简要介绍欧拉图的概念、实现和应用。
定义
欧拉回路：通过图中每条边恰好一次的回路
欧拉通路：通过图中每条边恰好一次的通路
欧拉图：具有欧拉回路的图
半欧拉图：具有欧拉通路但不具有欧拉回路的图
性质
欧拉图中所有顶点的度数都是偶数。
若 \(G\) 是欧拉图，则它为若干个环的并，且每条边被包含在奇数个环内。
判别法
无向图是欧拉图当且仅当：
非零度顶点是连通的
顶点的度数都是偶数
无向图是半欧拉图当且仅当：
非零度顶点是连通的
恰有 0 或 2 个奇度顶点
有向图是欧拉图当且仅当：
非零度顶点是强连通的
每个顶点的入度和出度相等
有向图是半欧拉图当且仅当：
非零度顶点是弱连通的
至多一个顶点的出度与入度之差为 1
至多一个顶点的入度与出度之差为 1
其他顶点的入度和出度相等
求欧拉回路或欧拉路
Fleury 算法
也称避桥法，是一个偏暴力的算法。
算法流程为每次选择下一条边的时候优先选择不是桥的边。
一个广泛使用但是错误的实现方式是先 Tarjan 预处理桥边，然后再 DFS 避免走桥。但是由于走图过程中边会被删去，一些非桥边会变为桥边导致错误。最简单的实现方法是每次删除一条边之后暴力跑一遍 Tarjan 找桥，时间复杂度是 \(\Theta(m(n+m))=\Theta(m^2)\)。复杂的实现方法要用到动态图等，实用价值不高。
Hierholzer 算法
也称逐步插入回路法。
过程
算法流程为从一条回路开始，每次任取一条目前回路中的点，将其替换为一条简单回路，以此寻找到一条欧拉回路。如果从路开始的话，就可以寻找到一条欧拉路。
实现
Hierholzer 算法的暴力实现如下：
\[
\begin{array}{ll}
1 & \textbf{Input. } \text{The edges of the graph } e , \text{ where each element in } e \text{ is } (u, v) \\
2 & \textbf{Output. } \text{The vertex of the Euler Road of the input graph}.\\
3 & \textbf{Method. } \\
4 & \textbf{Function } \text{Hierholzer } (v) \\
5 & \qquad circle \gets \text{Find a Circle in } e \text{ Begin with } v \\
6 & \qquad \textbf{if } circle=\varnothing \\
7 & \qquad\qquad \textbf{return } v \\
8 & \qquad e \gets e-circle \\
9 & \qquad \textbf{for} \text{ each } v \in circle \\
10& \qquad\qquad v \gets \text{Hierholzer}(v) \\
11& \qquad \textbf{return } circle \\
12& \textbf{Endfunction}\\
13& \textbf{return } \text{Hierholzer}(\text{any vertex})
\end{array}
\]
性质
这个算法的时间复杂度约为 \(O(nm+m^2)\)。实际上还有复杂度更低的实现方法，就是将找回路的 DFS 和 Hierholzer 算法的递归合并，边找回路边使用 Hierholzer 算法。
如果需要输出字典序最小的欧拉路或欧拉回路的话，因为需要将边排序，时间复杂度是 \(\Theta(n+m\log m)\)（计数排序或者基数排序可以优化至 \(\Theta(n+m)\)）。如果不需要排序，时间复杂度是 \(\Theta(n+m)\)。
应用
有向欧拉图可用于计算机译码。
设有 \(m\) 个字母，希望构造一个有 \(m^n\) 个扇形的圆盘，每个圆盘上放一个字母，使得圆盘上每连续 \(n\) 位对应长为 \(n\) 的符号串。转动一周（\(m^n\) 次）后得到由 \(m\) 个字母产生的长度为 \(n\) 的 \(m^n\) 个各不相同的符号串。
构造如下有向欧拉图：
设 \(S = \{a_1, a_2, \cdots, a_m\}\)，构造 \(D=
\(V = \{a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{n-1}} |a_i \in S, 1 \leq i \leq n - 1 \}\)
\(E = \{a_{j_1}a_{j_2}\cdots a_{j_{n-1}}|a_j \in S, 1 \leq j \leq n\}\)
规定 \(D\) 中顶点与边的关联关系如下：
顶点 \(a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{n-1}}\) 引出 \(m\) 条边：\(a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{n-1}}a_r, r=1, 2, \cdots, m\)。
边 \(a_{j_1}a_{j_2}\cdots a_{j_{n-1}}\) 引入顶点 \(a_{j_2}a_{j_3}\cdots a_{j_{n}}\)。
这样的 \(D\) 是连通的，且每个顶点入度等于出度（均等于 \(m\)），所以 \(D\) 是有向欧拉图。
任求 \(D\) 中一条欧拉回路 \(C\)，取 \(C\) 中各边的最后一个字母，按各边在 \(C\) 中的顺序排成圆形放在圆盘上即可。
例题
洛谷 P2731 骑马修栅栏
给定一张有 500 个顶点的无向图，求这张图的一条欧拉路或欧拉回路。如果有多组解，输出最小的那一组。
在本题中，欧拉路或欧拉回路不需要经过所有顶点。
边的数量 m 满足 \(1\leq m \leq 1024\)。
解题思路
用 Fleury 算法解决本题的时候只需要再贪心就好，不过由于复杂度不对，还是换 Hierholzer 算法吧。
保存答案可以使用 stack
注意，不能使用邻接矩阵存图，否则时间复杂度会退化为 \(\Theta(nm)\)。由于需要将边排序，建议使用前向星或者 vector 存图。示例代码使用 vector。
示例代码
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87
88#include
#include
#include
#include
using namespace std;
struct edge {
int to;
bool exists;
int revref;
bool operator<(const edge &b) const {
return to < b.to;
}
};
vector
int cnt[505];
const int dn = 500;
stack
void Hierholzer(int x) { // 关键函数
for (int &i = cnt[x]; i < (int)beg[x].size();) {
if (beg[x][i].exists) {
edge e = beg[x][i];
beg[x][i].exists = 0;
beg[e.to][e.revref].exists = 0;
++i;
Hierholzer(e.to);
} else {
++i;
}
}
ans.push(x);
}
int deg[505];
int reftop[505];
int main() {
for (int i = 1; i <= dn; ++i) {
beg[i].reserve(1050); // vector 用 reserve 避免动态分配空间，加快速度
}
int m;
scanf("%d", &m);
for (int i = 1; i <= m; ++i) {
int a, b;
scanf("%d%d", &a, &b);
beg[a].push_back((edge) {
b, 1, 0
});
beg[b].push_back((edge) {
a, 1, 0
});
++deg[a];
++deg[b];
}
for (int i = 1; i <= dn; ++i) {
if (!beg[i].empty()) {
sort(beg[i].begin(), beg[i].end()); // 为了要按字典序贪心，必须排序
}
}
for (int i = 1; i <= dn; ++i) {
for (int j = 0; j < (int)beg[i].size(); ++j) {
beg[i][j].revref = reftop[beg[i][j].to]++;
}
}
int bv = 0;
for (int i = 1; i <= dn; ++i) {
if (!deg[bv] && deg[i]) {
bv = i;
} else if (!(deg[bv] & 1) && (deg[i] & 1)) {
bv = i;
}
}
Hierholzer(bv);
while (!ans.empty()) {
printf("%d\n", ans.top());
ans.pop();
}
}
习题
洛谷 P1341 无序字母对
洛谷 P2731 骑马修栅栏